欧几里得空间中图的广义代数连通度：极值性质与界

图刚性，即研究$\mathbb{R}^d$中的顶点实现及保持诱导边长的运动，数十年来一直是广泛研究的焦点。其在$d=1$时与图连通性的等价性是众所周知的；因此，它可以被视为一种包含几何约束的推广。图连通性通常由代数连通度（拉普拉斯矩阵的第二小特征值）来量化。最近，一个用于量化$\mathbb{R}^d$中图刚性的图不变量被引入，称为广义代数连通度。认识到刚性与连通性之间的内在关系，本文提出了新的贡献。特别地，我们引入了d-刚性比，作为表达图在$\mathbb{R}^d$中相对于其连通性的刚性水平的度量。我们证明了这个比率是有界的，并提供了极值例子。此外，我们为广义代数连通度提供了一个新的上界，该上界与直径和顶点连通度成反比，从而改进了先前的界。此外，我们研究了图刚性与直径（衡量图整体范围的一个度量）之间的关系。我们给出了刚性图所能达到的最大直径，并证明广义路径图是极值例子。最后，我们推导了广义路径图的广义代数连通度的一个上界，该上界（渐近地）比现有界改进了四倍。