关于拉普拉斯扩展猜想等价陈述的勘误

对于图$G$，令$\alpha(G)$表示其第二小拉普拉斯特征值。拉普拉斯扩展猜想指出$\alpha(G)+\alpha(\overline{G}) \geq 1$，其中$\overline{G}$是$G$的补图。在本文中，我们纠正了两个结论：首先，$\alpha(G) + \alpha(\overline{G}) \geq 1$的充要条件是$\parallel \bigtriangledown_{x} - \bigtriangledown_{y} \parallel^{2} \geq 1$，而非如我们研究所示在\cite{BS}中证明的$\parallel \bigtriangledown_{x} - \bigtriangledown_{y} \parallel^{2} \geq 2$。其次，我们证明了平衡有向图$\Gamma$的拉普拉斯扩展满足$LS(\Gamma) \leq n - \frac{1}{2}$，而非\cite{BCEHK}中的$LS(\Gamma) \leq n - 1$，因为不等式$\parallel \bigtriangledown_{x} - \bigtriangledown_{y} \parallel^{2} \geq 2$不成立。