无限六边形网格的 $l$ 距离染色跨度

对于图 $G(V,E)$ 和 $l \in \mathbb{N}$，$l$ 距离染色是 $V$ 的一个染色 $f: V \to \{1, 2, \cdots, n\}$，使得 $\forall u,\;v \in V,\; u\neq v,\; f(u)\neq f(v)$ 当 $d(u,v) \leq l$ 时成立。这里 $d(u,v)$ 是 $u$ 和 $v$ 之间的距离，等于在 $G$ 中连接 $u$ 和 $v$ 的最小边数。图 $G$ 的 $l$ 距离染色的跨度 $\lambda ^{l}(G)$ 是所有 $l$ 距离染色中最小的 $n$。蜂窝网络中的一类信道分配问题可表述为正则网格图中的距离图染色问题。蜂窝网络常建模为无限六边形网格 $T_H$，因此确定 $\lambda ^{l}(T_H)$ 具有实际意义。Jacko 和 Jendrol [Discussiones Mathematicae Graph Theory, $2005$] 确定了任意奇数 $l$ 的 $\lambda ^{l}(T_H)$ 精确值，对于偶数 $l \geq 8$，猜想 $\lambda ^{l}(T_H) = \left[ \dfrac{3}{8} \left( \, l+\dfrac{4}{3} \right) ^2 \right]$，其中 $[x]$ 为整数，$x\in \mathbb{R}$ 且 $x-\dfrac{1}{2} < [x] \leq x+\dfrac{1}{2}$。对于 $l=8$，该猜想已由 Sasthi 和 Subhasis [$22$nd Italian Conference on Theoretical Computer Science, $2021$] 证明。在本文中，我们证明该猜想对任意 $l \geq 10$ 成立。