图的树覆盖数与正半定最大零度

对于简单图 $G=(V,E)$，令 $\mathcal{S}_+(G)$ 表示实正半定矩阵 $A=(a_{ij})$ 的集合，满足若 $\{i,j\}\in E$ 则 $a_{ij}\neq 0$，若 $\{i,j\}\notin E$ 则 $a_{ij}=0$。$G$ 的最大正半定零度记为 $\operatorname{M}_+(G)$，定义为 $\max\{\operatorname{null}(A)|A\in \mathcal{S}_+(G)\}$。$G$ 的树覆盖是作为 $G$ 的诱导子图出现、顶点不交的若干简单树组成的集合，覆盖 $G$ 的所有顶点。$G$ 的树覆盖数记为 $T(G)$，是最小树覆盖的基数。已知外平面图上的树覆盖数与最大正半定零度相等，且 2011 年有人猜想对所有图均有 $T(G)\leq M_+(G)$ [Barioli et al., Minimum semidefinite rank of outerplanar graphs and the tree cover number, $Elec. J. Lin. Alg.,$ 2011]。我们证明该猜想对某些图族成立。此外，我们证明 $T(G)$ 的界以表明：若 $G$ 是含 $n\geq 2$ 个顶点的连通外平面图，则 $\operatorname{M}_+(G)=T(G)\leq \left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil$；若 $G$ 是含 $n\geq 6$ 个顶点且无三或四圈的连通外平面图，则 $\operatorname{M}_+(G)=T(G)\leq \frac{n}{3}$。我们还刻画了满足 $\operatorname{M}_+(G)=T(G)=\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil$ 的连通外平面图。