锦标赛中树的膨胀与扩张

一类无环有向图$\mathscr{C}$被称为是线性不可避免的，如果存在一个常数$c$，使得每一个有向图$D\in \mathscr{C}$都包含在所有阶为$c\cdot |V(D)|$的锦标赛中。所有无环有向图构成的类不是线性可避免的，并且Fox、He和Widgerson最近证明，即使对于最大度有界的无环有向图，情况也并非如此。在积极方面，Thomason和Häggkvist证明了有向树类是线性不可避免的。在这项工作中，我们将此结果推广到通过向一棵有向树添加至多$k$个顶点而得到的无环有向图，以及有向树的$k$-膨胀，其中$k$为任意固定整数。更精确地说，我们证明：如果$D$是通过向一棵阶为$n$的有向树$F$添加$k$个通用顶点而得到的，那么$D$包含在每一个阶为$2\cdot 3^{(k+1)(2k+1)} \cdot n$的锦标赛中；并且如果$D$是通过将$F$的每个顶点$u$替换为一个大小为$k$的独立集$X_u$，并将每条弧$uv$替换为从$X_u$到$X_v$的所有可能弧而得到的，那么$D$包含在每一个阶为$2^{10+18k}k \cdot n$的锦标赛中。