关于多部竞赛图 $D$ 的序列 $\left\{ C^m(D) \right\}_{m=1}^{\infty}$ 的极限

对于整数 $k \ge 2$，设 $A$ 为一个布尔分块矩阵，其分块为 $A_{ij}$（$1 \le i,j \le k$），满足 $A_{ii}$ 为零矩阵，且对 $i \neq j$，$A_{ij}+A_{ji}^T$ 为全元素为 $1$ 的矩阵，但 $A_{ij}$ 与 $A_{ji}^T$ 的对应元素不全为 $1$。Jung~{\em et al.} [Competition periods of multipartite tournaments. {\it Linear and Multilinear Algebra}, https://doi.org/10.1080/03081087.2022.2038057] 研究了矩阵序列 $\{A^m(A^T)^m\}_{m=1}^{\infty}$。本文是该文的自然推广，并由观察“若 $A$ 无零行则 $\{A^m(A^T)^m\}_{m=1}^{\infty}$ 收敛”所引发，计算了当 $A$ 无零行时矩阵序列 $\{A^m(A^T)^m\}_{m=1}^{\infty}$ 的极限。为此，我们采用图论方法：注意到 $A$ 是多部竞赛图 $D$ 的邻接矩阵，我们计算当 $D$ 无汇点时效图序列 $\left\{ C^m(D) \right\}_{m=1}^{\infty}$ 的极限。