图的 $4\times 4$ 矩阵划分计数

给定一个对称矩阵 $M\in \{0,1,*\}^{D\times D}$，图 $G$ 的一个 $M$-划分是从 $V(G)$ 到 $D$ 的函数，使得 $G$ 中没有边被映射到 $M$ 的 $0$，且没有非边被映射到 $1$。我们给出了一个计算机辅助证明：当 $|D|=4$ 时，计算输入图的 $M$-划分数量的问题要么属于 FP，要么是 #P-完全问题。可解性通过归约到相关的列表 $M$-划分计数问题得以证明；不可解性则利用小工具构造和插值法展示。我们使用计算机程序确定了除少数矩阵外所有矩阵属于哪种情况，并通过人工解决这些剩余矩阵以确立二分性。我们猜想该二分性对 $|D|>4$ 也成立。更具体地说，我们猜想对于任意对称矩阵 $M\in\{0,1,*\}^{D\times D}$，计算 $M$-划分的复杂度与相关的列表 $M$-划分计数问题相同。