布尔 Toeplitz 矩阵的矩阵周期与竞争周期

本文研究二元布尔环 $\mathbb{B} = \{0,1\}$ 上 Toeplitz 矩阵的矩阵周期与竞争周期。给定 $\{1,\ldots,n-1\}$ 的子集 $S$ 和 $T$，定义 $n\times n$ Toeplitz 矩阵 $A=T_n\langle S ; T \rangle$ 的 $(i,j)$ 元为 $1$ 当且仅当 $j-i \in S$ 或 $i-j \in T$。我们证明：若 $\max S+\min T \le n$ 且 $\min S+\max T \le n$，则 $A$ 的矩阵周期为 $d/d'$，竞争周期为 $1$，其中 $d = \gcd (s+t \mid s \in S, t \in T)$，$d' = \gcd(d, \min S)$。此外，证明了矩阵序列 $\{A^m(A^T)^m\}_{m=1}^\infty$ 的极限除零对角线外为全 1 矩阵的有向和。诸多文献表明图论方法可用于证明矩阵的强结构性质。类似地，我们从图论视角展开本研究。