布尔 Toeplitz 矩阵的时间周期与竞争周期 II

本文是论文 [Matrix periods and competition periods of Boolean Toeplitz matrices, Linear Algebra Appl. 672:228--250, (2023)] 的后续研究。给定集合 $S$ 和 $T$ 作为 $\{1,\ldots,n-1\}$ 的子集，若且仅当 $j-i \in S$ 或 $i-j \in T$ 时，$n \times n$ Toeplitz 矩阵 $A=T_n\langle S ; T \rangle$ 的 $(i,j)$ 项才为 1。在前一篇论文中，我们证明了满足条件 ($\\star$) $\max S+\min T \le n$ 和 $\min S+\max T \le n$ 的 Toeplitz 矩阵 $A=T_n\langle S; T \rangle$ 的矩阵周期和竞争周期分别为 $d^+/d$ 和 $1$，其中 $d^+= \gcd (s+t \mid s \in S, t \in T)$ 和 $d = \gcd(d, \min S)$。在本文中，我们主张即使放宽条件 ($\\star$) 为存在元素 $s \in S$ 和 $t \in T$ 满足 $s+t \le n$ 且 $\gcd(s,t)=1$，同样的结果仍然成立。存在无限多个不满足 ($\\star$) 但满足放宽条件的 Toeplitz 矩阵。例如，对于任意正整数 $k, n$ 且 $2k+1 \le n$，可见 $T_n\langle k, n-k;k+1, n-k-1 \rangle$ 不满足 ($\\star$) 但满足放宽条件。此外，我们证明矩阵序列 $\{A^m(A^T)^m\}_{m=1}^\infty$ 的极限是 $T_n\langle d^+,2d^+, \ldots, \lfloor n/d^+\rfloor d^+\rangle$。