Toeplitz 矩阵的算子系统

A.~Connes 与 W.D.~van Suijlekom 近期的一篇论文将 $n\times n$ Toeplitz 矩阵的算子系统等同于次数小于 $n$ 的所有三角多项式空间的对偶。本文通过显式证明 Connes--van Suijlekom 同构是算子系统的单位完全序同构，更为细致地考察了这一等同。本文亦考察了该完全序同构的推论，得出两个值得注意的特殊结果：(i) $n\times n$ 复矩阵的每个正线性映射在限制于 Toeplitz 矩阵的算子子系统时是完全正的；(ii) $n\times n$ Toeplitz 矩阵到所有 $n\times n$ 复矩阵代数的每个线性单位等距都是酉相似变换。后一结果给出了早先建立定理的新证明。Toeplitz 矩阵的算子系统方法为分块 Toeplitz 矩阵的正性提供了新见解，此处将其视为任意算子系统与 $n\times n$ 复 Toeplitz 矩阵算子系统的张量积空间中的元素。特别地，本文表明若分块本身为 Toeplitz 矩阵，则最小正性与最大正性是不同的，并且最大纠缠 Toeplitz 矩阵在单位圆 $S^1$ 上所有连续 $n\times n$ Toeplitz 矩阵值函数 $f$ 的锥中生成一条极端射线，这些函数的 Fourier 系数 $\hat f(k)$ 对 $|k|\geq n$ 消失。