有向图合成与乘积中弧不交强生成子有向图

若有向图 $D=(V,A)$ 的弧集 $A$ 有两个不交集合 $A_1$ 和 $A_2$，使得 $(V,A_1)$ 和 $(V,A_2)$ 均强连通，则称 $D$ 具有良分解。设 $T$ 为含 $t$ 个顶点 $u_1,\dots , u_t$ 的有向图，并设 $H_1,\dots H_t$ 为有向图，其中 $H_i$ 含顶点 $u_{i,j_i},\ 1\le j_i\le n_i$。则合成 $Q=T[H_1,\dots , H_t]$ 是以 $\{u_{i,j_i}\mid 1\le i\le t, 1\le j_i\le n_i\}$ 为顶点集、以 $$A(Q)=\cup^t_{i=1}A(H_i)\cup \{u_{ij_i}u_{pq_p}\mid u_iu_p\in A(T), 1\le j_i\le n_i, 1\le q_p\le n_p\}$$ 为弧集的有向图。对于有向图合成 $Q=T[H_1,\dots H_t]$，我们得到了 $Q$ 具有良分解的充分条件，并在 $T$ 为强半完全有向图且每个 $H_i$ 为至少含两个顶点的任意有向图时给出了 $Q$ 具有良分解的刻画。对于有向图乘积，我们证明如下：(a) 若 $k\geq 2$ 为整数且 $G$ 为强有向图并含一族覆盖所有顶点的弧不交圈，则笛卡尔积有向图 $G^{\square k}$(关于笛卡尔积的 $k$ 次幂)具有良分解；(b) 对任意强有向图 $G, H$，强积 $G\boxtimes H$ 具有良分解。