有向图合成中的弧不交出分支与入分支

有向图 $D$ 中的出分支 $B^+_u$（入分支 $B^-_u$）是 $D$ 的一个连通生成子有向图，其中除称为根的顶点 $u$ 外，每个顶点的入度（出度）均为一。 $D$ 中的一个{\bf 好 $\mathbf{(u,v)}$-对}是一对分支 $B^+_u,B^-_v$，它们没有公共弧。Thomassen 证明了判定一个有向图是否存在任何好对是 NP-完全的。若一个有向图没有一对不相邻顶点，则称其为{\bf 半完全的}。{\bf 半完全合成}是指任一由半完全有向图 $S$ 通过对 $S$ 的每个顶点 $x$ 代换一个任意有向图 $H_x$ 而得到的有向图 $D$。本文作者近期给出了对给定顶点 $u,v$ 存在好 $(u,v)$-对的半完全有向图的完整分类。他们还给出了一个多项式算法，对给定的半完全有向图 $D$ 及其顶点 $u,v$，要么在 $D$ 中给出一个好 $(u,v)$-对，要么给出 $D$ 无此对的证书。本文中我们展示如何利用半完全有向图的结果来完全解决如下判定问题：给定的半完全合成 $D$ 对给定顶点 $u,v$ 是否存在好 $(u,v)$-对。我们的解意味着该问题对所有半完全合成都是多项式时间可解的。特别地，我们的结果意味着存在一个多项式算法来判定给定的拟传递有向图 $D$ 对给定顶点 $u,v$ 是否存在好 $(u,v)$-对。这证实了 Bang-Jensen 与 Gutin 于 1998 年提出的一个猜想。