半完全有向图中的弧不交出分支与入分支

有向图 $D$ 中的出分支 $B^+_u$（入分支 $B^-_u$）是 $D$ 的一个连通生成子图，其中除称为根的顶点 $u$ 外，每个顶点的入度（出度）均为一。众所周知，判断给定有向图是否具有 $k$ 个具有指定根且弧不交的出分支（$k$ 为输入的一部分）存在多项式算法。与此形成鲜明对比的是，判断一个有向图是否存在一个与某个入分支弧不交的出分支已是 NP-完全问题。若无一对不相邻顶点，则该有向图为{\bf 半完全}的。{\bf 竞赛图}是无长度为 2 的有向圈的半完全有向图。本文对具有出分支 $B^+_u$ 且与某入分支 $B^-_v$ 弧不交的半完全有向图给出了完全分类，其中 $u,v$ 为 $D$ 的指定顶点。我们出人意料地简洁的刻画推广了第一作者于 1991 年对竞赛图的复杂刻画，且我们的证明意味着存在多项式算法用于检查给定半完全有向图对指定顶点 $u,v$ 是否具有这样一对分支，并在存在时构造出解。这证实了 Bang-Jensen 关于半完全有向图情形的猜想。