具有大出度或大二色数的有向图中的细分

1985 年，Mader 猜想存在一个函数 $f$，使得每个最小出度至少为 $f(k)$ 的有向图都包含 $k$ 阶传递竞赛图的细分。这一猜想仍然完全开放，因为 $f(5)$ 的存在性尚属未知。在本文中，我们证明如果 $D$ 是有向路径、入树形图（即所有边均指向根的树），或者从 $x$ 到 $y$ 的两条有向路径与从 $y$ 到 $x$ 的一条有向路径的并集，那么每个最小出度足够大的有向图都包含 $D$ 的细分。此外，我们考虑另一个图参数来研究 Mader 猜想。有向图 $D$ 的二色数是使得 $D$ 可以划分为 $k$ 个无环子有向图的最小整数 $k$。我们证明，任何二色数大于 $4^m (n-1)$ 的有向图都包含每个具有 $n$ 个顶点和 $m$ 条弧的有向图作为细分。