关于具有指定弧集的有向图二色数变体

本文考虑具有指定弧集的有向图上的二色数变体。设$D$为一个有向图，$Z_1, Z_2$为$D$中两个弧集。对于$D$的子有向图$H$，令$A(H)$表示$H$的所有弧的集合。令$\mu(D, Z_1, Z_2)$为$D$的顶点划分$\mathcal{P}$中部分数的最小值，使得对每个$X\in \mathcal{P}$，由$X$诱导的$D$的子有向图不包含满足$|A(C)\cap Z_1|\neq |A(C)\cap Z_2|$的有向圈$C$。当$Z_1=A(D)$且$Z_2=\emptyset$时，$\mu(D, Z_1, Z_2)$等于$D$的二色数。我们证明：对每个有向图$F$以及每个整数元组$(a_e,b_e,r_e, q_e)$（其中对$F$的每条弧$e$有$q_e\ge 2$且$\gcd(a_e,q_e)=\gcd(b_e,q_e)=1$），存在整数$N$，使得若$\mu(D, Z_1, Z_2)\ge N$，则$D$包含一个同构于$F$的剖分子有向图，其中$F$的每条弧$e$被剖分为有向路~$P_e$，满足~$a_e|A(P_e)\cap Z_1|+b_e|A(P_e)\cap Z_2|\equiv {r_e}\pmod {q_e}$。这推广了Steiner的定理[Subdivisions with congruence constraints in digraphs of large chromatic number, arXiv:2208.06358]，该定理对应于$(a_e, b_e, Z_1, Z_2)=(1, 1, A(D), \emptyset)$的情形。