如何通过游戏将排列分解为一对带标签的 Dyck 路径

我们建立了长度为 $2n$ 的排列与某些在下行步上带有标签的 Dyck 路径对之间的双射。该双射源于一个游戏，其中两名玩家交替从 $2n$ 个物品的集合中进行选择：排列编码了玩家对物品的偏好顺序，而 Dyck 路径编码了在最优策略下物品被选择的顺序。我们通过某些统计量（AA 逆序和 BB 逆序）对排列进行计数，这些统计量在游戏方面具有自然的解释。我们给出了经典恒等式的新证明，例如 $\sum_p \prod_{i=1}^n q^{h_i -1} [h_i]_q = [1]_q [3]_q ... [2n-1]_q$，其中求和遍历所有长度为 $2n$ 的 Dyck 路径 $p$，$h_i$ 是 $p$ 的下行步的高度。