Dyck路径大子集上的面积-弹跳交换双射

寻找一个交换Dyck路径上面积和弹跳统计量的双射是一个长期悬而未决的问题。我们通过一个显式双射，在Dyck路径的一个指数级大子集上解决了这个问题。此外，我们通过证明该双射将我们称为弹跳极小路径映射到面积极小路径，从而证明了这个双射是自然的。作为证明思路的一个推论，我们组合地证明了：存在一个面积为$a$且弹跳为$b$的路径，当且仅当存在一个面积为$b$且弹跳为$a$的路径。最后，我们证明了面积与弹跳统计量之和的不同值的数量等于Johnson $q$-Bell多项式中非零系数的数量。