密切路径与振荡表

研究了某类密切格路径的组合性质，并得到了其与振荡表的关系。更具体地，所考虑的路径在正方形格中矩形的下边界与右边界分别有固定的起点与终点，每条路径只能向右或向上走单位步，且允许两条不同路径共享格点，但不可交叉或共享格边。此类路径对应于具有适当边界条件的统计力学六顶点模型的构型，并包含对应于交替符号矩阵及其若干子类的情形。将没有或有两条路径穿过的矩形点分别称为空位或密切点，主要兴趣情形为具有固定数目 $l$ 个空位与密切点的路径组。随后证明存在自然双射，将每个这样的路径组 $P$ 映射到一对 $(t,\eta)$，其中 $\eta$ 为长度 $l$ 的振荡表（即一个由 $l+1$ 个分拆组成的序列，以空分拆开始，且相继分拆的杨图相差一个单方格），$t$ 为某个相容的、由 $l$ 个弱递增正整数组成的序列。此外，$P$ 的每个空位或密切点对应于 $\eta$ 中一个分拆，其杨图由前一杨图分别添加或删去一个方格得到。这些双射导出了涉及振荡表上求和的密切路径计数公式。