柱面上的相切随机行走

我们考虑平方晶格上在每个顶点处向左或向右转的随机路径。除访问过的顶点外，可能的转向以等概率发生。在此情况下，经由未使用的边离开该顶点。当到达初始边时，认为路径完成。我们还考虑此类路径的族，它们共同覆盖晶格的每条边一次并访问每个顶点两次。由于这些路径可以接触但不能彼此相交或自交，我们称之为相切行走。此类族的系综也称为稠密 O$(n=1)$ 模型。我们特别考虑柱面几何中的此类路径，柱轴与晶格方向之一平行。我们提出关于晶格的一个面被 $m$ 条不同相切路径包围的概率的猜想。对于偶数系统尺寸，我们给出关于一条路径缠绕柱面的概率的猜想。对于奇数系统尺寸，我们猜想一个点被跨越柱面无限长度的路径访问的概率。最后我们猜想一个二项行列式渐近式的表达式。