篮球漫步的双射研究

Catalan数计数许多组合对象类。此类对象中最具代表性的大概是Dyck漫步和二叉树，并且每当另一类组合对象被Catalan数计数时，自然地会寻找后者与前者的显式双射。在大多数情况下，这样的双射相对简单，但有时可能更为复杂。本工作中，我们关注所谓的篮球漫步，即步集为$\{-2,-1,+1,+2\}$的整数值漫步。允许步中包含$-2$使得无法使用经典的{\L}ukasiewicz用整数值漫步对树的编码，因此需要不同的策略。我们给出显式双射，对每个$n\ge 2$，将起点终点为$0$、访问过$1$且除端点外均为正的$n$步篮球漫步映射到$n$叶二叉树。此外，我们可以将漫步的步划分为$\pm 1$-步、奇数$+2$-步或偶数$-2$-步，以及奇数$-2$-步或偶数$+2$-步，这三类步通过我们的双射映射到相应树的双叶子、左叶子和右叶子。我们还证明了除原点外为正的从$0$到$1$的篮球漫步与带关联置换避免$213$的递增一元二叉树双射。我们进一步给出了这些对象的精细生成函数，其中用额外变量计数一元节点。