k-超越格路径的计数及其在顺序统计量链比较中的应用

我们计算了从 $(0,0)$ 出发到 $(m,n)$ 结束的单调格路径的数量，其中前 $k$ 步中有 $l$ 步位于直线 $y=x$ 下方（$0\leq k\leq m\leq n$）。这些封闭公式由卡特兰数、选票数和二项式系数的乘积项组成。然后，我们将这些组合公式应用于失效分析，推导出一个概率分布，用于比较由连续、独立同分布随机变量构成的 $k$-out-of-$m$ 系统与 $k$-out-of-$n$ 系统的性能。最后，我们给出了 $k,m,n$ 在几种特殊情况下的渐近结果，并将其他情况留作猜想。