有理Dyck路径上扫描映射求逆的高效搜索算法

给定互素正整数对$(m,n)$，有理$(m,n)$-Dyck路径是$m\times n$矩形中永不降至对角线以下的格点路径。有理$(m,n)$-Dyck路径$D$的扫描映射是将$D$的各步按其起点秩排序所得的有理Dyck路径$\Phi(D)$，其中点$(a,b)$的秩为$bm-an$。该映射被猜想为双射，但至今$\Phi$仅知在Fuss情形（$m=kn\pm 1$）下为双射。本文给出求逆$\Phi$映射的一种高效搜索算法。粗略而言，给定$\sigma\in \cal D_{m,n}$，通过搜索某个深度的$d$-阵列树，我们可以输出所有满足$\Phi(D)=\sigma$的$D$，其中$d$为$m$除以$n$的余数。特别地，我们通过给出$\Phi^{-1}(\sigma)$的一个简单递归构造，证明了在Fuss情形下$\Phi$是可逆的。