同时核划分：参数化与求和

固定互素的 $s,t\ge1$。我们在不使用 Ehrhart 互反律的情况下，重新证明了 Armstrong 的一个猜想（最近由 Johnson 验证）：有限多个同时 $(s,t)$-核的平均大小为 $\frac{1}{24}(s-1)(t-1)(s+t+1)$，并且自共轭核的子集具有相同的平均值（首先由 Chen--Huang--Wang 证明）。我们类似地证明了 Fayers 最近的一个猜想：由逆稳定子加权的平均值——给出“随机 $s$-核的 $t$-核的期望大小”——为 $\frac{1}{24}(s-1)(t^2-1)$。我们还证明了 Fayers 的猜想：如果 $t$ 是奇数，类似的自共轭平均值相同；但如果 $t$ 是偶数，则为 $\frac{1}{24}(s-1)(t^2+2)$。原则上，我们的显式方法——或其隐式变体——可以扩展到任意幂次的平均值。主要的新观察是，Fayers 猜想中出现的稳定子在 Johnson 的 $(s,t)$-核的 $z$-坐标参数化中具有简单的公式。我们还观察到 $z$-坐标可以扩展以参数化一般的 $t$-核。作为一个应用示例，取 $t := s+d$，我们对互素的 $s,d\ge1$ 计数了 $(s,s+d,s+2d)$-核的数量，验证了 Amdeberhan 和 Leven 最近的一个猜想。