$\ell$-正则 bipartition的算术密度与同余性 II

设 $B_{\ell}(n)$ 为 $n$ 的 $\ell$-正则 bipartition 数目。2013 年，Lin \cite{Lin2013} 证明了 $B_4(n)$ 的密度结果。他证明对于任意正整数 $k,$ $B_4(n)$ 几乎总是能被 $2^k$ 整除。在本文中，我们改进了他的结果。我们证明 $B_{2^{\alpha}m}(n)$ 和 $B_{3^{\alpha}m}(n)$ 几乎总是能被任意 2 的幂和 3 的幂整除。进一步地，我们通过使用 Hecke 本征形式理论，获得 $B_2(n)$ 和 $B_4(n)$ 的无数同余性质及乘法公式。接下来，依据 Ono 和 Taguchi 关于赫尔氏算子平凡性的结果，我们也发现满足 $B_{2^{\alpha}}(n)$ 任意 2 的幂模的无数同余性质。