$(u,v)$ 正则 bipartition的分布与同余性

设 $B_{u,v}(n)$ 表示 $n$ 的 $(u,v)$ 正则 bipartition 的个数。本文证明了 $B_{p,m}(n)$ 始终几乎可被 $p$ 整除，其中 $p\geq 5$ 为素数，$m=p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2}\cdots p_r^{\alpha_r}$，其中 $\alpha_i \geq 0$ 且 $p_i \geq 5$ 为互不相同的素数，且 $\gcd(p,m)=1$。进一步，我们通过使用 Hecke 本征形式理论和 Newman \cite{Newmann1959} 的结果，获得了 $B_{3,7}(n)$、$B_{3,5}(n)$ 和 $B_{3,2}(n)$ 关于模 $3$ 的无限同余式族。此外，我们通过运用 Newman \cite{Newmann1959} 的等式，获得了 $B_{2,7}(n)$、$B_{2,11}(n)$ 和 $B_{2,13}(n)$ 关于模 $7$、$11$ 和 $13$ 的无限同余式族。除了此之外，我们通过应用 Newman \cite{Newmann1962} 的另一结果，证明了 $B_{4,3}(n)$、$B_{8,3}(n)$ 和 $B_{4,5}(n)$ 关于模 $2$ 的无限同余式族。