某些丢番图方程与 $21$-正则分拆的新奇偶性结果

对于正整数 $t\geq 2$，令 $b_{t}(n)$ 表示非负整数 $n$ 的 $t$-正则分拆数。在最近一篇论文中，Keith 与 Zanello 研究了当 $t\leq 28$ 时 $b_{t}(n)$ 的奇偶性。他们发现了涉及每个满足 $p\equiv 13, 17, 19, 23 \pmod{24}$ 的素数 $p$ 的 $b_{21}(n)$ 模 2 的 Ramanujan 型同余新无限族。在本文中，我们研究涉及满足 $p\equiv 1, 5, 7, 11 \pmod{24}$ 的素数 $p$ 的 $b_{21}(n)$ 奇偶性。我们证明了涉及奇素数 $p$ 的 $b_{21}(n)$ 模 2 的 Ramanujan 型同余新无限族，这些素数对某些 $j\in\left\lbrace1,4,8\right\rbrace$ 使丢番图方程 $8x^2+27y^2=jp$ 有本原解，并且我们还证明了此类素数的 Dirichlet 密度等于 $1/6$。最近，Yao 基于 Newman 的结果给出了 $b_{3}(n)$ 模 2 的同余新无限族，这些同余涉及每个素数 $p\geq 5$。遵循类似方法，我们证明了 $b_{21}(n)$ 模 2 的同余新无限族，并且这些同余意味着 $b_{21}(n)$ 无穷多次为奇数。