3-正则分拆数的奇偶性与丢番图方程

设 $b_3(n)$ 为 $n$ 的 $3$-正则分拆数。最近，W. J. Keith 和 F. Zanello 发现了涉及每个满足 $p \equiv 13, 17, 19, 23 \pmod {24}$ 的素数 $p$ 的 $b_3(2n)$ 模 $2$ 的无限族拉马努金型同余，O. X. M. Yao 给出了涉及每个素数 $p\geqslant 5$ 的 $b_3(2n)$ 模 $2$ 的新无限族拉马努金型同余。本文中，我们引入 $b_3(2n)$ 模 $2$ 的新的无限拉马努金型同余。它们自然地补充了 Keith-Zanello 和 Yao 的结果，并涉及集合 $\mathcal P=\{p \text{ prime } : \exists \, j\in \{1,4,8\},\, x, y \in \mathbb Z,\, \gcd(x,y)=1 \text { with } x^2+216y^2=jp\}$ 中的素数，其狄利克雷密度为 $1/6$。作为我们证明中的关键要素，我们证明了对于 $x^2+216y^2=pm$，$p \in \mathcal P$，$p\nmid m$ 且 $pm\equiv 1\pmod{24}$，其本原解的个数可被 $8$ 整除。此处困难源于 $216$ 不是幂单数。我们还给出了该丢番图方程解个数的一个猜想精确公式。文章第二部分，我们研究欧拉型恒等式的反转。这些受第二作者近期关于涉及按长度奇偶性加权的 $3$-正则分拆的舒尔恒等式反转工作的启发。