基于微分代数方法的-multipartition 与除数函数卷积同余的计算机辅助证明

本文给出了涉及 multipartition 函数与除数函数自卷积的几类同余的代数证明。我们的计算使用 $\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$ 中的微分代数方法，实现于 arXiv 上作为附属文件的若干 MAPLE 程序中。本文的首批结果是形如 $p^{*k}(qn+r) \equiv_q 0$ 与 $\sigma^{*k}(qn+r) \equiv_q 0$ 的 Ramanujan 型同余，其中 $p(n)$ 与 $\sigma(n)$ 为分拆函数与除数函数，$q > 3$ 为素数，$^{*k}$ 表示 $k$ 阶自卷积。我们证明了该形式下 $q \in \{5, 7, 11\}$ 的所有有效同余，包括三个 Ramanujan 同余，以及一个 $q = 17$ 的非平凡同余。此类 multipartition 同余原则上已由 D. Eichhorn 与 K. Ono 通过模形式在数值验证意义上解决，但我们的证明是纯代数的。另一方面，多数除数函数同余为新结果。我们进而搜索模小素数的更一般同余，涉及不同 $k$ 值下 $\sigma^{*k}(pn+r)$ 的线性组合，以及 $p(n)$ 与 $\sigma(n)$ 带多项式权重的加权卷积。文末给出了除数函数同余的若干推论与推广，包括 N. C. Bonciocat 三个猜想的证明。