涉及本原Dirichlet特征的一类正整数卷积和的初等计算

我们将 E. Ntienjem 所得的结果推广至所有正整数。设 $\EuFrak{N}$ 为 $\mathbb{N}$ 中由 $\,2^{\nu}\mho$ 组成的子集，其中 $\nu$ 属于 $\{0,1,2,3\}$ 且 $\mho$ 为不同奇素数的无平方有限乘积。我们讨论当 $\alpha\beta$ 属于 $\mathbb{N}\setminus\EuFrak{N}$ 时，卷积和 $\underset{\substack{ {(l,m)\in\mathbb{N}^{2}} {\alpha\,l+\beta\,m=n} } }{\sum}\sigma(l)\sigma(m)$ 的计算。此类卷积和的计算是通过应用模形式和本原 Dirichlet 特征来实现的。此外，我们重新考察了 $\alpha\beta=9$、$16$、$18$、$25$、$36$ 时卷积和的计算。若 $\alpha\beta\equiv 0 \pmod{4}$，我们确定自然数 $a,b$，并利用已计算的卷积和及其他已知卷积和来执行八元二次型 $a\,(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2})+ b\,(x_{5}^{2} + x_{6}^{2} + x_{7}^{2} + x_{8}^{2})$ 对 $n$ 的表示数。类似地，若 $\alpha\beta\equiv 0 \pmod{3}$，我们计算自然数 $c,d$，并利用已计算的卷积和及其他已知卷积和来确定八元二次型 $c\,(\,x_{1}^{2} + x_{1}x_{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{3}x_{4} + x_{4}^{2}\,) + d\,(\,x_{5}^{2} + x_{5}x_{6} + x_{6}^{2} + x_{7}^{2} + x_{7}x_{8} + x_{8}^{2}\,)$ 对 $n$ 的表示数。我们以显式示例 $\alpha\beta = 3^{2}\cdot 5$、$\alpha\beta = 2^{4}\cdot 3$、$\alpha\beta = 2\cdot 5^{2}$ 和 $\alpha\beta = 2^{6}$ 阐明了我们的方法。