广义多项式包的 Runge 逼近定理

由 Runge 逼近定理可知，在紧多项式凸集 $K\subset \complexes^{n}$ 的邻域内全纯的每一个函数都可以在 $K$ 上被解析多项式一致逼近。本文将证明当多项式凸包 $\hat {K}$ 的作用由 Basener 引入的广义多项式包 $h_{q}(K)$ 取代时同样的结果成立，该包对每个整数 $q\in {0,...,n-1}$ 可定义为 $h_{q}(K)=\displaystyle\bigcup_{P\in \complexes [z_{1},...,z_{n}]} A_{P}$，其中 $A_{P}=\{z\in \complexes^{n}: |P(z)|\leq \delta_{K}(P,z)\}$，而 $\delta_{K}(P,z)$ 表示当 $f$ 取遍在 $z$ 处为零的holomorphic多项式映射 $\complexes^{n}\to \complexes^{q}$ 的集合时 $||P||_{K\cap f^{-1}(0)}$ 的最小值。