若干逼近定理

本笔记的总体主题可由以下定理说明：定理 1. 设 $K$ 为复平面中的紧集且 0 属于边界 $\partial K$。令 ${\cal A}(K)$ 表示 $K$ 上所有满足在 $K$ 的邻域内全纯且 $f(0)=0$ 的函数 $f$ 的空间。又对任意给定正整数 $m$，令 ${\cal A}(m,K)$ 表示所有满足在 $K$ 的邻域内全纯且 $f(0)=f^{\prime}(0)=...=f^{(m)}(0)=0$ 的 $f$ 的空间。则只要存在扇形 $W=\{r\hbox{\rm e}^{i\theta}; 0\leq r\leq\delta,\alpha\leq\theta\leq\beta\}$ 使得 $W\cap K=\{0\}$，${\cal A}(m,K)$ 就在 $K$ 上的上确界范数下于 ${\cal A}(K)$ 中稠密。（此即著名的庞加莱外锥条件）。我们在高维情形中以调和取代全纯，给出该结果的各种推广。