基于零空间性质的稳定低秩矩阵恢复

从不完整且可能含噪的线性测量集合中恢复低秩矩阵的问题在许多领域均有出现。为了推导严格的恢复结果，测量映射通常采用概率建模。我们推导了确保通过凸优化实现恢复所需的最小测量数量的充分条件。我们通过测量映射零空间的某些性质建立了这些结果。在测量实现为与独立标准高斯随机矩阵的 Frobenius 内积的设定下，我们证明了 $10 r (n_1 + n_2)$ 次测量足以一致且稳定地恢复秩至多为 $r$ 的 $n_1 \times n_2$ 矩阵。随后，我们仅要求独立、均值为零、方差为一且具有四个有限矩的元素，从而显著推广了这一结果，代价是将 $10$ 替换为某个普适常数。我们还研究了从与秩一投影算子成正比的测量矩阵中恢复秩为 $r$ 的 Hermitian 矩阵的情形。对于 $m \geq C r n$ 次到独立标准高斯向量的秩一投影测量，我们证明了核范数最小化能以高概率一致且稳定地重构秩为 $r$ 的 Hermitian 矩阵。接下来，我们通过建立关于复射影 4-设计中独立元素的投影的类似命题，部分地去随机化了这一结果，代价是采样率略高，即 $m \geq C rn \log n$。此外，如果已知待恢复的 Hermitian 矩阵是半正定的，我们证明了核范数最小化方法可替换为在半正定约束下最小化残差的 $\ell_2$ 范数。此时无需对噪声水平进行先验估计。我们讨论了在量子物理学和相位恢复问题中的应用。