从秩一测量中恢复低秩矩阵

我们研究通过核范数最小化从未充分采样的测量中恢复 Hermitian 低秩矩阵 $X \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 的问题。我们考虑一种特定场景，即测量是与形式为 $a_j a_j^*$ 的随机秩一矩阵的 Frobenius 内积，其中 $a_1,...,a_m$ 为某些测量向量，即测量值由 $y_j = \mathrm{tr}(X a_j a_j^*)$ 给出。若要恢复的矩阵 $X=x x^*$ 为秩一矩阵，则该情况简化为无相位估计问题（通过最近提出的 PhaseLift 方法，从测量值 $y_j = |\langle x,a_j\rangle|^2$ 进行估计）。我们推导了测量次数 $m$ 的界限，以保证成功均匀恢复 Hermitian 秩 $r$ 矩阵；这适用于两种情况：一是测量向量 $a_j$ ($j=1,...,m$) 根据标准高斯分布独立随机选取，二是 $a_j$ 从（近似）复射影 $t$-design 中独立采样且 $t=4$。在高斯情况下，我们需要 $m \geq C r n$ 次测量，而在 4-design 情况下，我们需要 $m \geq Cr n \log(n)$ 次测量。我们的结果具有均匀性，意味着测量向量 $a_j$ 的一次随机选择即可保证以高概率同时恢复所有秩 $r$ 矩阵。此外，我们证明了在测量受到噪声扰动下的恢复鲁棒性。关于近似 4-design 的结果推广并改进了 Gross、Kueng 和 Krahmer 最近提出的关于相位检索的界限。此外，该结果在量子态层析成像中具有应用价值。我们的证明采用了所谓的保龄球方案（bowling scheme），该方案基于 Mendelson 和 Koltchinskii 最近提出的思想。