基于幅值模型的低秩矩阵恢复性能研究

本文聚焦于低秩相位恢复，其旨在从受噪声破坏的幅值测量 $\mathbf{y}=|\mathcal{A}(\mathbf{X}_0)|+\boldsymbol{\eta}$ 中重构矩阵 $\mathbf{X}_0\in \mathbb{R}^{n\times m}$（其中 ${\mathrm{ rank}}(\mathbf{X}_0)\le r$），这里 $\mathcal{A}:\mathbb{R}^{n\times m}\rightarrow \mathbb{R}^{p}$ 是线性映射，$\boldsymbol{\eta}\in \mathbb{R}^p$ 是噪声向量。我们首先考察秩约束非线性最小二乘模型 $\hat{\mathbf{X}}\in \mathop{\mathrm{argmin}}\limits_{\substack{\mathbf{X}\in \mathbb{R}^{n\times m},\mathrm{rank}(\mathbf{X})\le r}}\||\mathcal{A}(\mathbf{X})|-\mathbf{y}\|_2^2$ 来估计 $\mathbf{X}_0$，并证明在 $\mathcal{A}$ 为高斯测量集且 $p\gtrsim (m+n)r$ 的条件下，重构误差以高概率满足 $\min\{\|\hat{\mathbf{X}}-\mathbf{X}_0\|_F, \|\hat{\mathbf{X}}+\mathbf{X}_0\|_F\}\lesssim \frac{\|\boldsymbol{\eta}\|_2}{\sqrt{p}}$。我们还证明误差界限 $\frac{\|\boldsymbol{\eta}\|_2}{\sqrt{p}}$ 在常数因子内是紧的。此外，我们将秩约束松弛为核范数约束。因此，我们提出了用于低秩相位恢复的 Lasso 模型，即受约束核范数模型及其无约束版本。我们同样为这些模型建立了可比的理论保证。为此，我们为线性映射 $\mathcal{A}$ 引入了强限制等距性质（SRIP），类似于相位恢复中的强 RIP。这项工作提供了统一的处理，将相位恢复和基于秩一测量的低秩矩阵恢复的现有结果进行了扩展。