矩阵恢复中自适应感知的下界

我们研究了使用线性测量恢复低秩矩阵的自适应感知算法的下界。给定一个 $n \times n$ 矩阵 $A$，对于一般线性测量 $S(A)$（其中 $S$ 为 $n \times n$ 矩阵），其仅为 $S$ 与 $A$ 的内积，二者均被视为 $n^2$ 维向量。通过对秩为 $r$ 的矩阵 $A$ 执行尽可能少的线性测量，我们希望构造一个矩阵 $\hat{A}$，满足 $\|A - \hat{A}\|_F^2 \le c\|A\|_F^2$，其中 $c$ 为一个小的常数。通常假设在用 $S$ 测量 $A$ 时，响应被均值为 $0$、方差为 $\sigma^2$ 的独立高斯随机变量所污染。Candès 与 Plan 研究了使用随机线性测量的低秩矩阵恢复的非自适应算法。在某一噪声水平下，已知其非自适应算法需要执行 $\Omega(n^2)$ 次测量，相当于读取整个矩阵。一个重要的问题是，自适应性能否有助于减少总体测量次数。我们证明，任何在每轮使用 $k$ 次线性测量、并以 $\ge 9/10$ 的概率输出底层矩阵近似的自适应算法，必须运行 $t = \Omega(\log(n^2/k)/\log\log n)$ 轮，这表明任何在每轮使用 $n^{2-\beta}$ 次线性测量的自适应算法，必须运行 $\Omega(\log n/\log\log n)$ 轮才能以 $\ge 9/10$ 的概率计算出重建结果。因此，任何具有 $o(\log n/\log\log n)$ 轮的自适应算法必须使用总体 $\Omega(n^2)$ 次线性测量。我们的技术也可直接推广，以获得张量恢复自适应算法的下界，并为数值线性代数中的许多感知问题（如谱范数低秩近似、Frobenius 范数低秩近似、奇异向量近似等）给出测量次数与轮数的权衡。