低秩矩阵恢复的最小测量数

本文给出了低秩矩阵恢复中的一个基本问题的若干结果：需要多少测量才能恢复低秩矩阵？我们首先研究复矩阵情形，并表明通过代数工具，$4nr-4r^2$个一般测量对于$\C^{n\times n}$中秩为$r$的矩阵恢复是必要且充分的。因此，我们确认了Eldar、Needell和Plan针对复矩阵情形提出的猜想。接下来我们考虑实矩阵情形，并证明当$n=2^k+r, k\in \Z_+$时，界$4nr-4r^2$是紧的。受Vinzant工作的启发，我们通过计算机随机搜索构造了$\R^{4\times 4}$中的$11$个矩阵，并证明它们定义了$\R^{4\times 4}$中秩为$1$的矩阵上的单射测量。这反驳了Eldar、Needell和Plan针对实矩阵情形提出的猜想。最后，我们利用本文的结果研究通过投影进行相位恢复，并表明对于从它们的范数恢复$x\in \R^n$，少于$2n-1$个正交投影是可能的。