来自 Clifford 轨道的低秩矩阵恢复

我们证明了可以从采样自特定矩阵群轨道的少量测量中高效地恢复低秩矩阵。作为一种特例，我们的理论对相位检索问题作出了论述。在此任务中，目标是仅根据向量与来自轨道的少量向量的内积振幅来恢复该向量。该群的各种变体在数学的许多领域以不同的名称出现。在编码理论和量子信息中，它是复 Clifford 群；在时频分析中是振荡子群；在数学物理中是辛群。它拥有一个特别小且高度结构化的轨道，该轨道包含并推广了离散傅里叶基：虽然傅里叶向量具有常数模的系数和线性依赖于其索引的相位，但所述轨道中的向量具有二次依赖的相位。在量子信息中，该轨道被广泛使用，被称为稳定子态集合。我们认为，由于其丰富的几何结构和近乎最优的恢复特性，稳定子态构成了相位检索结构化测量的理想模型。我们的结果适用于 $m\geq C \kappa_r r d \log(d)$ 次测量，其中过采样因子 $\kappa_r$ 根据轨道的不同在 $\kappa_r=1$ 和 $\kappa_r = r^2$ 之间变化。重建过程对加性噪声和偏离低秩假设的情况均具有稳定性。如果感兴趣的矩阵 additionally 是半正定的，则可以通过简单的约束最小二乘回归执行重建。我们的证明方法可以调整以涵盖其他群的轨道。