低秩矩阵恢复的唯一性条件
数值分析
2015-05-27 v1 信息论
系统与控制
math.IT
最优化与控制
概率论
摘要
低秩矩阵恢复处理从少量线性测量中恢复未知低秩矩阵的问题。核范数最小化是一种易于处理的方法，近期获得了强有力的理论支持。类似于压缩感知理论，这些结果需要随机测量。例如，m >= Cnr 次高斯测量足以高概率地恢复任意秩为r的n×n矩阵。在本文中，我们探讨了无论采用何种方法（易于处理与否）所需测量次数的理论问题。我们证明，对于一族随机测量系综，m >= 4nr - 4r^2 次测量足以保证测量算子的零空间中不存在秩为2r的矩阵（概率为1）。这是通过秩最小化确保所有秩为r矩阵均匀恢复的充要条件。此外，m的这个值恰好与所有秩为2r矩阵流形的维数相匹配。我们还证明，对于固定秩为r的矩阵，m >= 2nr - r^2 + 1 次随机测量足以保证通过秩最小化实现恢复。这些结果为比较核范数最小化的有效性提供了一个基准。
引用
@article{arxiv.1103.5479,
title = {Unicity conditions for low-rank matrix recovery},
author = {Yonina C. Eldar and Deanna Needell and Yaniv Plan},
journal= {arXiv preprint arXiv:1103.5479},
year = {2015}
}