基于 RIP 的 $L_{*-F}$ 最小化低秩矩阵恢复性能保证

在欠定线性系统 $\bm{b}=\mathcal{A}(\bm{X})+\bm{s}$ 中，向量 $\bm{b}$ 与算子 $\mathcal{A}$ 为已知观测，而 $\bm{s}$ 为未知噪声。本文研究了精确重构所求低秩或近似低秩矩阵 $\bm{X}$ 的充分条件。我们使用核范数与 Frobenius 范数之差（$L_{*-F}$）作为秩函数的替代，并建立此类低秩矩阵恢复的新非凸松弛，称为 $L_{*-F}$ 最小化，以更逼近秩函数。对于此类非凸非光滑约束 $L_{*-F}$ 最小化问题，基于噪声水平是否为 $0$，我们分别给出恢复误差的上界估计。特别地，在无噪情形下，给出了一个精确恢复的充分条件。若线性算子 $\mathcal{A}$ 满足受限等距性质且 $\delta_{4r}<\frac{\sqrt{2r}-1}{\sqrt{2r}-1+\sqrt{2}(\sqrt{2r}+1)}$，则 $r$-\textbf{rank} 矩阵 $\bm{X}$ 可在无其他假设下被精确恢复。此外，由于正则化模型在算法设计中应用更广，我们也深入研究了正则化 $L_{*-F}$ 最小化模型。我们通过 RIP 工具提供了该正则化 $L_{*-F}$ 最小化模型的恢复误差估计。据我们所知，这是关于通过正则化 $L_{*-F}$ 最小化精确重构低秩矩阵的首个结果。