低秩矩阵恢复中核范数最小化的充要条件零空间条件

低秩矩阵恢复在机器学习和信号处理、协同过滤、系统辨识和欧几里得嵌入等科学与工程领域有许多应用。但低秩矩阵恢复问题是 NP 难问题，因此具有挑战性。一种常用的启发式方法是核范数最小化。在 [12,14,15] 中，作者建立了核范数最小化恢复秩至多为 r 的任意可能低秩矩阵（强零空间条件）的必要且充分的零空间条件。此外，在 [12] 中，Oymak 等人建立了使用核范数最小化成功恢复给定低秩矩阵（弱零空间条件）的零空间条件，并推导了核范数最小化的相变。在本文中，我们证明 [12] 中的弱零空间条件仅是使用核范数最小化成功进行矩阵恢复的充分条件，而非如 [12] 中所声称的必要条件。在本文中，我们进一步给出低秩矩阵恢复的弱零空间条件，该条件对于核范数最小化的成功既是必要的也是充分的。我们推导的核心是用于刻画分块矩阵核范数的一个不等式，以及该不等式中取等号成立的条件。