联合低秩与双稀疏恢复：问题与部分解答

我们研究从尽可能少的线性测量中恢复联合 $r$-秩与 $s$-双稀疏矩阵的问题，考虑任意测量以及秩一测量。在这两种情形下，我们表明 $m \asymp r s \ln(en/s)$ 次测量在理论上（即通过非实用算法）可使恢复成为可能。在任意测量的情形下，我们考察当 $m \asymp r s^\gamma \ln(en/s)$（其中某指数 $\gamma > 0$）时，通过迭代硬阈值算法实现实用恢复的可能性。我们证明这对手 $\gamma = 2$ 是可行的，且所提出的分析不能涵盖 $\gamma \leq 1$ 的情形。最优指数 $\gamma \in [1,2]$ 的精确取值是一个问题的对象，该问题在本文中被提出但未解决，涉及联合低秩与双稀疏结构的头投影。一些相关问题在论述中被部分解答。对于秩一测量，我们基于晦涩的理由建议一种经修改以利用此类测量所服从的非标准限制等距性质的迭代硬阈值算法。