低秩矩阵补全的黎曼优化保证

我们研究嵌入低秩矩阵流形上的黎曼优化方法用于矩阵补全问题，即从部分条目恢复低秩矩阵。假设一个 $n\times n$ 秩为 $r$ 的矩阵的 $m$ 个条目被独立且均匀有放回地采样。我们首先证明，在高概率下，以一步硬阈值化初始化的黎曼梯度下降与共轭梯度下降算法保证线性收敛到被测矩阵，条件是 \begin{align*} m\geq C_\kappa n^{1.5}r\log^{1.5}(n), \end{align*} 其中 $C_\kappa$ 是依赖于底层矩阵条件数的数值常数。通过重采样黎曼梯度下降初始化，采样复杂度被进一步改进到 \begin{align*} m\geq C_\kappa nr^2\log^{2}(n) \end{align*}。新初始化过程的分析依赖于采样算子的非对称限制等距性质以及低秩矩阵流形的曲率。数值模拟表明，这些算法能够从近乎最少的测量数恢复低秩矩阵。