面向非凸欧几里得距离几何的黎曼优化及全局恢复保证

从部分距离信息确定点配置的问题，称为欧几里得距离几何（EDG）问题，是许多应用科学中的基本问题。本文提出了两种基于黎曼优化框架的算法来解决EDG问题。我们的ethods将问题表述为在格朅姆矩阵上进行的低秩矩阵完成任务，使用部分测量在非正交基中的格朗姆矩阵的展系数表示。对于第一个算法，在对观测距离条目进行均匀有放回抽样模型下，我们证明了在通过一步硬阈值初始化的情况下，基于格朗姆矩阵秩为$r$矩阵流形上的黎曼梯度类算法，以高概率收敛于真实解，前提是样本数 $m$ 满足 $m \geq \mathcal{O}(n^{7/4}r^2 \log(n))$。通过通过重抽样黎曼梯度类下降实现更精细的初始化，我们进一步将该下界改进为 $m \geq \mathcal{O}(nr^2 \log(n))$。我们对第一个算法的分析利用了非自伴算子，并依赖于推导受限基矩阵内积矩阵的特征值界，利用稀疏性质获得更紧的保证。第二个算法引入了抽样算子上的自伴替代品。该算法在合成数据和真实数据上表现出色。此外，我们展示了对秩大于$r$的矩阵流形上的优化可获得更好的数值结果，这与最近在EDG问题中关于过参数化的最新文献一致。