基于加权黎曼优化求解高斯幅度测量下的二次方程

本文探讨了广义相位检索问题，即从其 m 个无相位样本 $y_k = \left|<\bm{a}_k,\bm{x}>\right|^2$ 重建长度为 $n$ 的信号 $\bm{x}$，其中 $k = 1,2,...,m$，且 $\bm{a}_k$ 为测量向量。该问题可重新表述为从线性样本 $\bm{y}=\mathcal{A}(\bm{X})\in\mathbb{R}^m$ 恢复正半定秩为 1 的矩阵 $\bm{X}=\bm{x}\bm{x}^*$，从而需要求解线性方程组的秩为 1 的解。我们展示，若干现有相位检索算法，包括 Wirtinger Flow (WF) 和标准黎曼梯度下降 (RGD)，实际上是在黎曼秩为 1 矩阵流形上求解该线性方程的最小二乘拟合，但利用不同的度量。然而，这些度量仅允许秩为 1 矩阵通过 $\mathcal{A}$ 对 $\mathbb{R}^m$ 进行稳定且远离等距嵌入，导致收敛因子较大的线性收敛。为加快收敛速度，我们在秩为 1 矩阵流形上建立一种新的度量，促进秩为 1 矩阵通过 $\mathcal{A}$ 对 $\mathbb{R}^m$ 的近等距嵌入。提出一种基于该新度量的 RGD 算法，称为加权 RGD (WRGD)，以解决相位检索问题。由于近等距性，我们证明了以谱方法初始化的 WRGD 算法可对底层信号 $\bm{x}$ 以较小收敛因子线性收敛。实验结果强有力地验证了我们算法相对于截断 Wirtinger Flow (TWF) 算法和标准 RGD 算法的高效性与鲁棒性。