求解几乎所有随机二次方程组

本文研究寻找一个 n 维解 x，以满足形式为 y_i = |⟨a_i, x⟩|^2（1 ≤ i ≤ m）的二次方程组，该问题亦称为相位恢复，且通常是 NP 难的。我们提出了一种新颖的过程，用于最小化基于振幅的最小二乘经验损失，该过程始于可通过少量幂迭代或 Lanczos 迭代获得的加权最大相关初始化，随后基于一系列迭代重加权（广义）梯度迭代进行逐步优化。这两个阶段（初始化和梯度流）因引入了一种新的（重）加权正则化技术而区别于先前的工作。整体算法概念简单、数值可扩展且易于实现。对于某些随机测量模型，该新颖过程被证明能够在与读取数据 {(a_i; y_i)}_{1≤i≤m} 成比例的时间内找到真实解 x。这一结论以高概率成立，且无需对待恢复信号 x 附加额外假设，前提是方程数量 m 是信号向量中未知数数量 n 的某个常数 c > 0 倍，即 m > cn。经验上，本文的贡献成果为：i) 在高维（例如 n ≥ 2,000）情况下，仅给定信息论极限数量的无噪声方程（即实值高斯情形下 m = 2n - 1），即可实现（几乎）100% 的完美信号恢复；以及 ii) 在存在有界支撑加性噪声时，达到（近乎）最优的统计精度。最后，使用合成数据和真实图像进行的大量数值测试证实，与现有最先进方法相比，我们的新颖过程在信号恢复性能和计算效率上均有显著提升。