通过随机截断幅度流求解大规模随机二次方程系统

一种称为\emph{随机截断幅度流}（STAF）的新方法被提出，用于从 $m$ 个形式为 $\psi_i=|\langle\bm{a}_i,\bm{x}\rangle|$ 的‘无相位’二次方程中重建未知的 $n$ 维实值/复值信号 $\bm{x}$。该问题也称为仅从幅度信息的相位恢复，通常是 \emph{NP-hard} 的。采用基于幅度的非凸公式，STAF 产生一个包含两个阶段的迭代求解器：s1）通过随机方差缩减梯度算法实现促进正交性的初始化；以及 s2）使用随机截断梯度迭代对初始化进行一系列迭代细化。两个阶段每次迭代只涉及单个方程，从而使得 STAF 成为一种简单、可扩展且快速的方法，适于大规模实现，在 $n$ 较大时非常有用。当 $\{\bm{a}_i\}_{i=1}^m$ 为独立高斯时，STAF 可证明地基于 $n$ 阶二次方程指数快速地精确恢复任意 $\bm{x}\in\mathbb{R}^n$。STAF 在具有有界支撑加性噪声存在时也是鲁棒的。涉及实高斯 $\{\bm{a}_i\}$ 向量的模拟测试表明，STAF 凭经验从约 $2.3n$ 个仅幅度测量中精确重建任意 $\bm{x}\in\mathbb{R}^n$，优于最先进的方法，并缩小了与信息论方程数 $m=2n-1$ 的差距。使用合成数据和真实图像的广泛实验证实了 STAF 相对于现有替代方法的显著改进性能。