以随机初值求解相位恢复几乎等同于谱初始化

从一组幅值测量 $y_i=|\langle \mathbf{a}_i, \mathbf{x} \rangle |, \; i=1,\ldots,m$ 中恢复信号 $\mathbf{x}\in \mathbb{R}^n$ 的问题被称为相位恢复，其在物理科学与工程领域有诸多应用。本文表明，在最优采样复杂度下，用于相位恢复的平滑幅度流模型具有良性的几何结构。具体而言，我们证明当测量向量 $\mathbf{a}_i\in \mathbb{R}^n$ 为高斯随机向量且测量次数 $m\ge Cn$ 时，我们的平滑幅度流模型以高概率不存在伪局部极小点，即目标解 $\mathbf{x}$ 是唯一全局极小点（相差一个全局相位），且损失函数在每个鞍点附近具有负方向曲率。得益于这一良性几何地形，相位恢复问题可通过梯度下降算法在无谱初始化的情况下求解。数值实验表明，随机初始化的梯度下降算法在经验成功率和收敛速度上，即便与采用谱初始化的最先进算法相比也表现良好。