用于求解二次方程组的重塑 Wirtinger 流与增量算法

我们研究相位恢复问题，该问题求解二次方程组，即从其幅度测量值 $y_i=|\langle \boldsymbol{a}_i, \boldsymbol{x}\rangle|, i=1,..., m$ 中恢复向量 $\boldsymbol{x}\in \mathbb{R}^n$。我们通过最小化一个非凸非光滑损失函数，开发了一种类梯度算法（称为 RWF，代表重塑 Wirtinger 流）。与现有的非凸 Wirtinger 流（WF）算法 \cite{candes2015phase} 相比，尽管损失函数变得非光滑，但它仅涉及变量的二次幂，从而降低了复杂度。我们证明，对于随机高斯测量，只要测量数 $m$ 与未知向量 $\boldsymbol{x}$ 的维度 $n$ 同阶，RWF 就能几何收敛到全局最优点。这改进了 WF 的样本复杂度，并达到了与截断 Wirtinger 流（TWF）\cite{chen2015solving} 相同的样本复杂度，但在梯度循环中无需截断。此外，RWF 的计算成本低于 WF，并且在数值上比 WF 和 TWF 运行得更快。我们进一步开发了增量（随机）重塑 Wirtinger 流（IRWF），并证明 IRWF 线性收敛到真实信号。基于 IRWF 与现有 Kaczmarz 方法的联系，我们进一步建立了该方法用于相位恢复问题的性能保证。我们还通过实验证明，IRWF 优于现有的 ITWF 算法（TWF 的随机版本）以及其他批量算法。