通过 Wirtinger 流进行四元数信号的相位恢复

本文的主要目的是研究四元数相位恢复（QPR），即从四元数线性测量的幅度中恢复四元数信号。我们证明，所有 $d$ 维四元数信号都可以通过 $O(d)$ 次无相位测量，直至一个全局右四元数相位因子被重构。我们还开发了用于求解 QPR 的可扩展算法——四元数 Wirtinger 流（QWF），并建立了其线性收敛保证。与复数 Wirtinger 流的分析相比，我们采用了一系列不同的处理方法，以克服四元数乘法不可交换性带来的困难。此外，我们开发了 QWF 的一种变体，通过将四元数相位因子估计纳入 QWF 迭代，能够有效利用纯四元数先验（例如用于彩色图像）。该估计可以高效计算，因为它等价于求一个 $4\times 4$ 实矩阵的奇异向量。受先前工作中 Wirtinger 流变体的启发，我们进一步提出了四元数截断 Wirtinger 流（QTWF）、四元数截断幅度流（QTAF）及其纯四元数版本。给出了在合成数据和彩色图像上的实验结果以验证我们的理论结果。特别地，对于纯四元数信号恢复，我们的四元数方法通常能够成功，且所需测量次数显著少于基于单色模型或拼接模型的实数方法。