通过截断幅度流求解随机二次方程组

本文提出一种称为截断幅度流（TAF）的新算法，用于从形如 $y_i=|\langle\bm{a}_i,\bm{x}\rangle|^2$ 的二次方程组中恢复未知向量 $\bm{x}$，其中 $\bm{a}_i$ 为给定的随机测量向量。该问题一般已知为 NP-hard。我们证明，只要方程数量级与未知量数量相当，TAF 即以高概率精确恢复解（相差一个全局单模常数），且复杂度随未知量数与方程数均线性增长。我们的 TAF 方法采用基于幅度的经验损失函数，并分两阶段进行。第一阶段，我们引入可通过若干幂迭代获得的促进正交性的初始化。第二阶段通过可扩展的截断广义梯度迭代的连续更新来精炼初始估计，这些迭代能够处理相当具挑战性的非凸且非光滑的基于幅度的目标函数。特别地，当向量 $\bm{x}$ 与 $\bm{a}_i$ 为实值时，我们的梯度截断规则可证明能以高概率消除错误估计的符号，从而显著优于其未截断版本。使用合成数据与真实图像的数值测试表明，相较于谱初始化，我们的初始化返回更准确且鲁棒的估计。此外，即使在相同初始化下，所提出的基于幅度的精炼也优于现有的 Wirtinger 流变体，证实了 TAF 相对于最先进算法的优越性能。